一元二次方程求根公式推导方法

P1、

一元二次方程求根公式是求解一元二次方程的一种方法，可以帮助我们找到方程的根。通过推导方法，可以得到这个公式，进而简化求解过程。在解决实际问题时，一元二次方程求根公式具有重要的实用价值。

P2、推导过程

2.1 从一般的一元二次方程出发

我们先考虑一般形式的一元二次方程：ax²+bx+c=0，其中a≠0。我们可以通过配方法来求解这个方程的根。

将方程两边都同时除以首项系数a，得到简化形式的方程：

x²+b/ax+c/a=0。

将方程中一次项的系数b/a的一半的平方添加到方程两边，即方程两边都加上(b/2a)²，得到：

x²+b/ax+b²/4a²+c/a+(b/2a)²= (b/2a)²。

将左边进行合并化简，得到：

(x+b/2a)² = b²-4ac/4a²。

开根号后得到：

x+b/2a = ±[√(b²-4ac)]/2a。

这样，我们就得到了一元二次方程的求根公式。

2.2 推导过程的换元法

对于一般形式的一元二次方程：ax²+bx+c=0，令x' = x + b/2a，我们通过换元来简化方程。

将x'代入方程，得到：

a(x'+b/2a)² + b(x'+b/2a) + c = 0。

展开并整理，得到：

ax'² + (ab/2a)x' + (ab/2a)² + bx' + (b²/2a) + c = 0。

化简合并项，得到：

ax'² + (2ab/2a)x' + (b²/4a²) + (2ab/2a)x' + (b²/2a) + c = 0。

再次合并项，得到：

ax'² + bx' + (b²/4a²) + (b²/2a) + c = 0。

继续化简，得到：

ax'² + bx' + (b²+4ac)/4a² = 0。

将左边进行整理，得到：

a(x'² + (b²+4ac)/4a²) = 0。

将方程两边都除以a，得到：

x'² + (b²+4ac)/4a² = 0。

移项，得到：

x'² = -(b²+4ac)/4a²。

开平方，得到：

x' = ±[√-(b²+4ac)]/2a。

再化简，得到：

x' = ±√[(b²+4ac)]i/2a。

将x'代回原来的方程，得到：

x + b/2a = ±√[(b²+4ac)]i/2a。

进一步整理，得到：

x = (-b ± [√(b²-4ac)i])/2a。

这就是另一种推导一元二次方程求根公式的方法。

P3、求根公式的意义

3.1 实根的情况

根据一元二次方程求根公式，如果b²-4ac>0，即方程的判别式大于0，那么方程有两个不相等的实根。这两个根的计算公式为：

x = (-b ± √(b²-4ac))/(2a)。

此时，我们可以通过计算得到具体的根，从而解决实际问题。

3.2 重根的情况

如果b²-4ac=0，即方程的判别式等于0，那么方程有一个实根。这个根的计算公式为：

x = -b/(2a)。

此时，方程的两个根重合，实际上只有一个解，这种情况在实际问题中也是常见的。

3.3 无实数根的情况

如果b²-4ac